Clément Galopin didactique des mathématiques 11 mai 2013
1
PortfolioFachdidaktikMathematik
Inhalt
Inhaltlich-anschaulicher operativer Beweis ............................................................................................ 2
Sachanalyse ............................................................................................................................................. 8
Zielformulierung und –analyse .............................................................................................................. 14
Unterrichtsverlaufsplanung mit Teilzielen ............................................................................................ 17
Lernumgebung, die aktiv-entdeckendes Lernen ermöglicht ................................................................ 22
Aufgabenanalysen und Übungen .......................................................................................................... 23
Kommentierte Prüfung .......................................................................................................................... 25
Clément Galopin didactique des mathématiques 11 mai 2013
2
Inhaltlich-anschaulicher operativer Beweis
Die Logarithmensätze
1)
2)
und
3)
Formal-symbolischer Beweis für den Satz 1):
Seien
!"
#
(1)
$
!"
%
(2)
&
!"
'
(3)
& (4)
Einsetzen (1) und (2) in (4):
#
%
&
Potenzsatz
#%
&
Definition des Log
'
#%
&$ (5)
Ersetzen ergibt:
Vorwissen: die Potenzsätze sowie die Definition des Logarithmus zur Basis b als
$
(!
%
)
Ausgedeutscht: Der Logarithmus zur Basis b von x ist jene Zahl mit der Eigenschaft, dass b hoch diese
Zahl das Argument x ergibt.
Eine mögliche Unterrichtssequenz
Ausgangslage: Die SuS kennen die Logarithmensätze noch nicht.
Grobziel: Die SuS verstehen, weshalb die drei Logarithmensätze gültig sind.
Zeit
Tiefenstruktur (Teilziele,
Funktionsrhythmus
)
Sichtsstruktur
3 mal
wiederholt
(n=1,2,3)
Nach der 3.
Wiederholung
Teilziel n: Die SuS finden den n ten
Logarithmensatz induktiv heraus.
a-Phase: Arbeitsblatt lesen
b-Phase: Arbeitsblatt bearbeiten
c-Phase: Besprechung des Arbeitsblattes
Teilziel 4: Die SuS erfahren den Beweis des 1.
Satzes (in der obigen Reihenfolge) und
bekommen denjenigen des 2. Satzes als
Hausaufgabe. Sie erfahren auch den Beweis für
den 3. Satz.
LP teilt 3 Arbeitsblätter aus (siehe
unten).
LP ist zuerst Sekretär an der WT.
LP hebt dann das hervor, was von
den SuS richtig gefunden wurde,
und vervollständigt wenn nötig die
Information.
Kurzvortrag: Beweise
Clément Galopin didactique des mathématiques 11 mai 2013
3
Das Arbeitsblatt für den ersten Satz beinhaltet die folgenden Lernaufträge:
Berechnen Sie:
*
+,
*
+
*
,
-
..,
-
.
-
.,
Vermutung:
Beweis?:
Zwei ähnliche Lernaufträge werden für die zwei anderen Logarithmensätze gleichzeitig den SuS
ausgeteilt. Nach der Bearbeitung aller drei Blätter (etwa 25‘, in freier Sozialform) werden die
Vermutungen im Plenum besprochen. Anschliessend werden die Sätze vorgestellt und im Kurzvortrag
wie oben an der Wandtafel bewiesen.
Begründung dieser Unterrichtsgestaltung
Der Lernauftrag bringt zuerst die SuS, die Logarithmensätze induktiv zu finden. Die SuS werden dazu
gebracht, für jeden Satz eine Hypothese aufzustellen und diese dann experimentell zu prüfen. Dieser
zweite Schritt des Prüfens mag aber oft von den SuS vergessen werden; im Rahmen der SuS-
Begleitung (im Hilfemodus scaffolding oder fading) bringt dann die Lehrperson die SuS einzeln dazu,
dass sie ihre Hypothese experimentell prüfen. Da dies als Beweis nicht reichen dürfte, wird ein
formal-symbolischer Beweis in der c-Phase vorgeführt. Die Wahl eines formal-symbolischen Beweises
passt hier gut, insofern als dieser Beweis einfach und geradlinig läuft und von keinem Trick Gebrauch
macht.
Ein experimenteller Beweis kann am Ende der Unterrichtseinheit in der Form einer Gruppenarbeit
zum Thema Rechenschieber (oder als Aufgabe für eine der Expertengruppen bei einer Puzzle-
Sequenz) gemacht werden. Mit dem Rechenschieber wird nämlich dieser Satz prägend
veranschaulich.
Veranschaulichung von 2 mal 3 gleich 6. Im Unterricht besonders interessant ist der Fall 3 mal 4, weil
das Ergebnis, 12, grösser als 10 ist und deshalb „ausserhalb“ des Lineals fällt. Wie rechnet man dann?
Jede/r Schüler/in der Gruppe würde jeweils zwei logarithmisch skalierten Linealen bekommen und
selbst Multiplikationen und Divisionen durchführen.
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4
Die Kettenregel
In der Situation /
0
12
3
1 seien 4 in und 5 in $4 differenzierbar. Dann ist auch 564 in
differenzierbar, und es gilt
564
7
5
7
4
4
7
)
Um den Satz zu beweisen, wollen wir zuerst die Ableitung etwas anders darstellen. Anstatt des
Differenzialquotienten schreiben wir lieber ganz ohne Bruch (Die Formel wird graphisch veran-
schaulicht: „Da sich die Funktion von ihrer Tangente wegkrümmen kann, schreiben wir noch am Ende
8
9
“. Der 89 mag hier als Fehler auftreten):
5
9
5
9"5
7
8
9
wobei
:;
;
1 für 91. Die Ableitung von 5 an der Stelle kommt hier vor (siehe Kreis).
Beweis:
Strategie: Wir wollen den Ausdruck 54
9
in der obigen Form bringen, sodass die gesuchte
Ableitung von"54
vorkommt.
4 ist in x ableitbar: 4
9
4
9"4
7
89 (1)
Wir definieren: 9
<
9"4
7
89 (2)
(1) wird in 54
9
eingesetzt: 5
4
9
54
9"4
7
8
9
(3)
(2) in (3): 5
4
9
5
4
9
<
(4)
Da 5 an der Stelle 4 ableitbar ist:
5
4
9
<
5
4
9
<
"5=4
89
<
(5)
(2) in (5):
5
4
9"4
7
89
"5=4
89"4
7
89 (6)
5
4
9"4
7
5=4
895=4
>
?
?
?
?
@
?
?
?
?
A
B:
;
"CDE"FGHF"I:HJKDHKF
89"4
7
89
>
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
@
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
A
B:;
(7)
5
4
"9"4
7
5
7
4
89 (8)
Der Ausdruck der Ableitung von 564 an der Stelle ist:
564
9
5
4
9"
564
7
89 (9)
Ein Vergleich von (8) und (9) ergibt:
564
7
4
7
5
7
4
,
was zu beweisen war. (formal-symbolischer Beweis)
Kommentare zu einzelnen Schritten des Beweises:
Schritt (5): Der Zweck der Definition von 9
<
(Schritt (2)) ist es, den Schritt (5) zu machen. Der nächste
Schritt (6) nimmt dann den 9
<
weg. Der Schritt (7) ist vermutlich der Schwierigste; eine Vereinfachung
dieses Beweises würde deshalb darin bestehen, auf den Rest 8
9
ganz zu verzichten und vom
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5
Anfang des Beweises an, mit Tangenten zu arbeiten. Siehe den inhaltlich-anschaulichen Beweis, den
ich weiter präsentieren möchte.
Inhaltlich-anschaulicher Beweis
Eine sehr schöne graphische Veranschaulichung der Kettenregel gibt es, wo klar wird, warum die
Ableitung der zusammengesetzten Funktion das Produkt der Ableitungen ist.
Schritt 1: Die Tangente von g an der Stelle
L
ist M
#
N
9
4
L
94=
L
. Der Rest ist
8
9
4
L
9
M
#
N
9
und wird vernachlässigbar klein für einen immer kleiner werdenden h.
Dieses Schema zeigt, dass (für h klein) die
Länge des Intervalls O
L
L
9P mal die
Steigung von M
#
N
die Länge des Intervalls
O4
L
4
L
9P ergibt.
Schritt 2: Das gesamte XY-Achsensystem
wird um einen Viertelkreis gedreht.
Schritt 3: Die gesamte Verknüpfung
L
"""0"""
Q
R
S
$
L
T
B0#
N
"""3"""
Q
R
S
&
L
T
B3
%
N
B30#
N
wird dann veranschaulicht:
Die Steigung von f an der Stelle $
L
4
L
ist
ungefähr 3. Die orange Strecke ist tatsächlich etwa
U
*
V)W mal Länger als die Grüne Strecke der Länge
h.
Am Schema lesen wir ab: „Die Länge der orangen
Strecke ist die Länge der grünen Strecke aus der X-
Achse multipliziert mit der Steigung von g an der Stelle
L
und mit der Steigung von f an der Stelle $
L
“.
54
L
954
L
X94=
L
5=4
L
! 54
L
9X54
L
94=
L
5=4
L
Ferner betrachten wir die Tangente von 564 an der Stelle
L
; diese Tangente ist die Funktion
9Y54
L
9
564
7
L
. Wir wollen die unbekannte Ableitung
564
7
L
bestimmen.
Clément Galopin didactique des mathématiques 11 mai 2013
6
Beim Schema ist jedoch klar, dass diese Tangente dieselbe Gerade ist, wie die Tangente von f an der
Stelle $
L
4
L
.
1
Es gilt deshalb 4=
L
5=4
L
564
7
L
, was zu beweisen war.
Eine mögliche Unterrichtssequenz
Bei einer dritten Mathe I-Klasse habe ich zwar einen Beweis für die Kettenregel vorbereitet, darauf
habe ich dann aber verzichtet (wie übrigens meine Praxislehrerin in den letzten Jahren und gut
wahrscheinlich auch die grosse Mehrheit aller Lehrpersonen). Ich habe lediglich den Satz mit
Beispielen veranschaulicht (u.a. die innere und die äussere Funktion an Beispiele erkennen und
ableiten) und am Ende gefragt, wer einen schönen Beweis zur Kettenregel sehen wollte. Da keiner
Interesse hatte, habe ich nicht insistiert. Erst bei einer Mathe II-Klasse würde eine solche
Beweisführung Sinn machen. Eine Unterrichtssequenz würde dann möglicherweise wie folgt
aussehen.
Grobziel: Die SuS verstehen, weshalb die Kettenregel gültig ist.
Zeit
Tiefenstruktur (Teilziele,
Funktionsrhythmus
)
Sichtsstruktur
20‘
Rest der U-
Stunde
Teilziel 1: Die SuS verstehen die Aussage der
Kettenregel überhaupt.
a-Phase: Die SuS hören einen Kurzvortrag.
b-Phase: Die SuS erledigen einfache Aufgaben
zur Kettenregel : SuS trainieren, wie man eine
Funktion in einer Inneren und einer äusseren
Funktion zerlegt.
c-Phase: Korrektur erfolgt im Plenum: Jeweils
einer der SuS wird gefragt.
Teilziel 2 : Die SuS nachvollziehen, warum die
Kettenregel stimmen muss.
a-Phase: Der Beweis wird frontal durchgeführt.
b-Phase: SuS beantworten einige Fragen zum
Beweis.
c-Phase: Die Fragen werden im Plenum
besprochen.
Inhalt des Kurzvortrages:
Wiederholung: Was ist die
Verknüpfung zweier Funktionen.
An Beispielen werden jeweils die
innere und die äussere Funktionen
von den SuS erkannt.
Schreibweise: 54
wird als
5
mit 4 geschrieben.
Nach dieser kurzen Wiederholung
wird dann die Kettenregel am
Beispiel 5
Z
[
veranschaulicht, das den Vorteil
hat, dass das Ergebnis der
Ableitung von f mit der
Ableitungsregel für Potenzen
geprüft werden kann.
Schritt für Schritt Durchführung
des inhaltlich-veranschaulichen
Beweises.
LP stellt einige Fragen zum gerade
durchgeführten Beweis.
1
Aus
564
L
54
L
weiss man zuerst, dass der Punkt \
L
"]"
564
L
des Graphen der Tangente
von 564 an der Stelle
L
mit dem Punkt ^4
L
"]"54
L
des Graphen der Tangente von g an der Stelle
4
L
übereinstimmt. Aus
564
L
9
564
7
L
54
L
4
L
94
L
5=4
L
weiss
man von einem zweiten Punkt, der beiden Tangenten gehört. Geraden, die bei zwei Punkten übereinstimmen,
sind aber identisch.
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7
Eine Alternative: Folgender formel-operativer Beweis könnte in Betracht kommen:
_`
;1L
54
9
54
4
9
4
_`
;1L
4
9
4
9
_`
;1L
a
54
9
54
4
9
4
4
9
4
9
b_`
;1L
54
9
54
9
Dieser Beweis setzt jedoch die Kenntnis voraus, dass das Produkt zweier Limes der Limes des
Produktes ist. Ob die SuS damit keine Probleme haben?
Darüber hinaus muss den SuS klar gemacht werden, dass _`
;1L
3
0
#;
c3
0
#
0
#;
c0
#
564
7
.
Ohne graphische Veranschaulichung könnte dies schwer sein, und für einen Differenzenquotienten
gibt es gar keine graphische Veranschaulichung (weil es ein Quotient ist). Darüber hinaus geht der
Beweis gar nicht, falls
4
9
4
Null ist… Dies sollte jedoch keine/r Schüler/in merken. Nur die
Lehrperson soll dessen bewusst sein!
Die Darstellung der Ableitung mittels der Gleichung 5
9
5
95
7
d9 hat
gegenüber den Differenzialquotienten den Vorteil, sich graphisch veranschaulichen zu lassen.
Für alle diese Gründe bevorzuge ich meinen graphischen Beweis.
Nota: Das Wort „Beweis“ habe ich jedes Mal ohne Anführungszeichen geschrieben, auch wenn der
Beweis streng genommen keiner war.
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Sachanalyse
Punkte und Vektoren im Raum
Die Lage eines Punktes \ gibt man mit seinen drei Koordinaten e
U
]e
*
]e
f
an. Dabei ist e
U
die
U
-
Koordinate, e
*
die
*
-Koordinate und e
f
die
f
-Koordinate im Koordinatensystem.
Beispiel: \
]
V
]
+ und ^
]
]
sind Punkte im Raum.
Mithilfe von Koordinaten beschreibt man also die Lagen von Punkten. Die Verschiebung von Punkten
lassen sich mit Vektoren beschreiben und mit Pfeilen vertreten, die zueinander parallel, gleich lang
und gleichgerichtet sind. Der Vektor \^
g
g
g
g
g
h
i
+
V
V
j beschreibt z.B. die Verschiebung, die u.a. vom
Ausgangspunkt \ zum Zielpunkt ^ führt.
Der Vektor k\
g
g
g
g
g
h
i
e
U
e
*
e
f
j heisst Ortsvektor des Punktes \e
U
]e
*
]e
f
.
Geraden
Jede Gerade lässt sich durch eine Parametergleichung der Form lhehmg
h
m beschreiben.
Der Vektor eh heisst Stützvektor. Er ist der Ortsvektor zu einem Punkt P, der auf der Geraden liegt.
Der Vektor g
h
heisst Richtungsvektor.
Eine Gerade 4 kann durch mehrere Gleichungen beschrieben werden, z.B. sind
lhi
V
,
W
jmi
V
.
V
j und lhi
+
+
.
jni
+
,
+
j ebenfalls Gleichungen der Geraden 4.
Dabei sind die Richtungsvektoren jeweils Vielfache voneinander, das heisst, ihre Pfeile sind
zueinander parallel.
Typische Aufgaben zu diesem Inhalt sind:
1) Betrachtet wird die Gerade 4o lhi
,
V
W
jni
V
+
p
j.
a) Bestimme die Koordinaten zweier Punkte \ und ^, die auf der Geraden 4 liegen.
b) Liegen die Punkte q
]
V
]
+ und r
]
]
auf der Geraden 4?
2) Gib eine Gleichung der Geraden an, auf der die Punkte A und B liegen.
Gegenseitige Lage von Geraden
Zwei Geraden 4 und 9 im Raum können
- sich schneiden. Sie besitzen einen einzigen gemeinsamen Punkt.
- zueinander parallel sein. Sie besitzen keine gemeinsamen Punkte.
- zueinander windschief sein. Sie besitzen keine gemeinsamen Punkte und sind nicht zueinander
parallel.
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9
So kann man bestimmen, wie zwei Geraden 4o lhehmg
h
und 9o lhshnh
zueinander liegen:
Typische Aufgaben zu diesem Inhalt sind:
a) Zeige, dass die Geraden 4ot und 9 : … zueinander parallel sind.
b) Geradenscharen: Wie muss der Scharenparameter u gewählt werden, damit
4
D
o lhi
V
u
jmi
,
+
j und 9
D
o lhi
+
p
+u
jni
+
j sich schneiden?
Wie liegen 4
D
und 9
D
zueinander, wenn sie sich nicht schneiden? Begründe.
Das Skalarprodukt
Die Orthogonalität zweier Vektoren uh und
g
h
kann man mithilfe ihrer Koordinaten überprüfen. Nach
dem Satz von Pythagoras gilt: Die Pfeile zweier Vektoren uh mit uh
u
U
u
*
und
g
h
mit
g
h
v
U
*
w sind
genau dann zueinander orthogonal, wenn
x
uh
x
*
y
g
h
y
*
y
uh
g
h
y
*
(siehe Schema)
Es ist
y
uh
g
h
y
*
u
U
U
*
u
*
*
*
u
U
*
+u
U
U
U
*
u
*
*
+u
*
*
*
*
.
Und somit
y
uh
g
h
y
*
u
U
U
*
u
*
*
*
+u
U
U
u
*
*
.
Die Vektoren uh und
g
h
sind also genau dann zueinander orthogonal, wenn für ihre Koordinaten gilt:
u
U
U
u
*
*
. Entsprechendes gilt für Vektoren im Raum. Die Grösse u
U
U
u
*
*
ist also von
besonderem Interesse und wir definieren deshalb:
Seien zwei Vektoren der Ebene uh
u
U
u
*
und
g
h
v
U
*
w. Die Zahl u
U
U
u
*
*
heisst das
Skalarprodukt von z
g
g
h
und {
g
g
h
. Analog für den Raum definieren wir:
Seien zwei Vektoren uhi
u
U
u
*
u
f
j und
g
h
i
U
*
f
j. Die Zahl u
U
U
u
*
*
u
f
f
heisst das
Skalarprodukt von z
g
g
h
und {
g
g
h
. Das Skalarprodukt von uh und
g
h
wird uh
g
h
notiert.
Sind die Richtungsvektoren
"
und
h
zueinander parallel?
Liegt der Punkt \mit dem
Ortsvektor e
h
auf der Geraden 9?
Hat die Gleichung
e
h
ms
h
n
h
eine einzige Lösung?
Die Geraden 4und 9
sind identisch.
Die Geraden 4und 9
sind zueinander
parallel.
Die Geraden 4und 9
schneiden sich.
Die Geraden 4und 9
sind zueinander
windschief.
ja
nein
ja ja
nein
nein
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10
Typische Aufgaben zu diesem Inhalt sind:
a) Sind die Geraden 4ot und 9 : …, die sich schneiden, zueinander orthogonal?
b) Gib die Gleichung einer Geraden 9 an, die die Gerade 4 orthogonal schneidet.
Normalengleichung und Koordinatengleichung einer Ebene
Eine Gerade in der Parameterform wird mithilfe eines Stützvektors und eines Richtungsvektors
angegeben. Mit der gleichen Idee kann man eine Ebene in der Parameterform angeben. Anstelle
eines Richtungsvektors gibt man dann zwei Vektoren, die die Ebene spannen. Eine Ebene lässt sich
also mit einem Stützvektor und zwei sogenannten Spannvektoren angeben:
|o lhehmg
h
nh mn.
Eine Ebene kann ebenfalls durch einen Stützvektor und einen Vektor }g
h
, der „orthogonal zur Ebene“
ist, beschrieben werden: Sind ein Stützvektor eh und ein Vektor }g
h
gegeben, so bilden alle Punkte X, für
deren Ortsvektor lh gilt
lheh
}g
h
, eine Ebene.
Eine Gleichung der Form |o
lheh
}g
h
nennt man eine Normalengleichung der Ebene E. Der
Vektor }g
h
heisst Normalenvektor der Ebene E.
Eine Ebene E lässt sich auch durch eine Gleichung ohne Vektoren beschreiben:
Seien }g
h
i
}
U
}
*
}
f
j, ehi
e
U
e
*
e
f
j und lh
a
$
&
b
.
"
lheh
}g
h
! lh}g
h
eh}g
h
! }
U
}
*
$}
f
&~"
wobei ~}
U
e
U
}
*
e
*
}
f
e
f
. Es ist die Koordinatengleichung der Ebene.
Ist eine Ebene E durch ihre Koordinatengleichung u$•&~ angegeben, so ist
a
u
•
b
ein
möglicher Normalenvektor von E.
Typische Aufgaben zu diesem Inhalt sind:
a) Die Ebene E ist durch die Punkte A, B und C festgelegt. Bestimme eine Parametergleichung, eine
Normalengleichung und eine Koordinatengleichung der Ebene E.
b) Bestimme die Gerade, die durch den Punkt P läuft und die Ebene E orthogonal schneidet.
c) Gegeben ist die Ebenenschar
|
D
o Vu
U
+u
*
W
f
u u.
c1) Für welchen Wert von a liegt der Punkt \(1|1|3) in der Ebene |
D
?
c2) Für welchen Wert von a ist die Ebene |
D
parallel zur Geraden 4(t?
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11
Spezialfall der Geraden in der Ebene
Spezial für eine Gerade in der Ebene ist der Begriff ihrer Steigung. Versehen wir die Ebene mit dem
XY-Standardkoordinatensystem, ist die Steigung einer Gerade €
•%
•#
.
Die Parametergleichung lhehmg
h
einer Geraden lässt sich als das folgende Gleichungssystem
schreiben:
‚
e
U
m
U
]
*
$e
*
m
*
]
U
!
‚
*
*
e
U
m
U
*
U
$
U
e
*
m
U
*
+
+
(
*
U
$
*
e
U
U
e
*
. Diese Gleichung entspricht der Koordinatengleichung
einer Ebene im Raum. Der Richtungsvektor ist g
h
U
*
und ein leicht zu ermittelnder
Normalenvektor ist }g
h
*
U
. Wir prüfen, dass
U
*
*
U
.
Wenn wir die Koordinatengleichung u$• haben, ist
u
ein Normalenvektor und
u
ein Richtungsvektor der Geraden.
Ausgehend von einem Richtungsvektor
U
*
der Geraden bekommen wir schnell die Steigung: Sie ist
€
ƒ
„
. Ein Steigungsdreieck bei welchem die Hypotenuse diesen Richtungsvektor vertritt, bietet
eine Veranschaulichung dieses Sachverhalts.
Wenn wir die Koordinatengleichung u$• haben, beträgt deshalb die Steigung €
D
.
Oft kennen wir eine Gerade durch einen Punkt \e
U
]e
*
und ihre Steigung. Wie bestimmen wir dann
ihre Gleichung? Wir ermitteln die sogenannte Punkt-Richtungs-Form der Geraden:
…
e
U
m
U
!""m
#c†
„
„
""
$e
*
m
*
!""m
%c†
ƒ
ƒ
""+
+
(
#c†
„
„
%c†
ƒ
ƒ
""!""
ƒ
„
e
U
$e
*
Hilfsmittel: Mit dem Programm Vektoris3D lassen sich Geraden und Ebenen räumlich darstellen:
Clément Galopin didactique des mathématiques 11 mai 2013
12
In Blau: die Stütz- und Richtungsvektoren beider Geraden rot und grün.
Aussermathematische Bezüge zum Thema und
aktuelle Bedeutung
Die 3D-Modellierung, die den meisten Computerspielen zugrunde
liegt, beschäftigt sich u.a. mit der Frage der Darstellung von
Objekten und Menschen mithilfe von drei dimensionalen
Polygonen. Man denke an die Delaunay-Triangulation, einen
Verfahren, um aus einer Punktemenge ein Tetraedernetz zu
erstellen. Diese Fragestellung wird algorithmisch angegangen. Der
Computer muss deshalb über eine innere Darstellung der Ränder
eines Tetraeders verfügen, mit welcher effizient gerechnet wird.
Welche Darstellung einer Ebene ist in diesem Fall die Beste?
Anwendungen der Vektorgeometrie finden wir in der Mechanik, wo ein Vektor einem gleichmässigen
Kraftfeld entspricht, während ein gebundener Vektor (d.h. eine der möglichen vertretenden Pfeile
eines Vektors) ein Kraftfeld an einer bestimmten Stelle des Raums beschreibt. In einem
Gravitationsfeld ist z.B. jedem Punkt ein gebundener Vektor zugeordnet.
Weiteres zum Thema Vektorgeometrie
Die Lehrperson kann eventuell eine Sonderlektion zum Thema der Geburt der Vektorgeometrie
widmen, am Beispiel der Konstruktion der Parabel (siehe [Lamb], S. 65) bei den Griechen und derer
bahnbrechenden Interpretation von Descartes in seinem Discours de la méthode.
Die Vektorgeometrie ist ein schönes Anwendungsgebiet der linearen Algebra, wo z.B. Rotationen
ersichtlich werden: ev. für Mathe II und mithilfe von einem Raumgeometrie-Programm wie [Prog].
Welche Probleme können mit der neuen Theorie (noch ohne lineare Algebra) gelöst werden? Wenn
die SuS das Vektor- und Spatprodukt gesehen haben, können sie einfache Flächen und Volumen
Clément Galopin didactique des mathématiques 11 mai 2013
13
berechnen und schon das Prinzip der Berechnung komplexerer Volumen im Ansatz verstehen,
insofern als sich diese Volumen auf Kombinationen mehrerer Spaten zurückführen lassen
2
.
Quellen
[Lamb] Lambacher Schweizer. Mathematik. Band: Analytische Geometrie und lineare Algebra, Klett
Verlag, ISBN: 978-3-12-735715-8
[Prog] Das Programm Vektoris3D zum Herunterladen, z.B. auf
http://www.heise.de/download/vektoris3d-1184344.html
2
Denken wir an die Gramsche Determinante beim Volumenintegral.
Clément Galopin didactique des mathématiques 11 mai 2013
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Zielformulierung und –analyse
Die Zielformulierung und -analyse wird zum Thema des vorigen Kapitels durchgeführt:
Parametergleichung der Geraden im Raum und Anwendungen.
Grunderfahrungen nach Heinrich Winter
Folgende Grunderfahrung soll ermöglicht werden:
In der Bearbeitung von Fragen und Problemen mit mathematischen Mitteln allgemeine Fähigkeiten
zum Problemlösen erwerben.
Das Problemlösen wird speziell dadurch gefördert, dass bei der dreidimensionalen Vektorgeometrie
ein räumliches Vorstellungsvermögen von den SuS verlangt wird. Das Vorstellungsvermögen ist klar
eine der allgemeinen Fähigkeiten zum Problemlösen.
Diese Grunderfahrung wird also dadurch ermöglicht, dass mithilfe von gezielten Aufgaben, das
räumliche Vorstellungsvermögen der SuS trainiert wird.
Vorschlag eines Allgemeinbildenden Ziel
Dazu formuliere ich ein nächstes allgemeinbildendes Ziel, das zur Wertschätzung der Mathematik als
geeignetes Denkmittel zur Erarbeitung von Lösungen von vielen zentralen Fragestellungen unserer
technischen Gesellschaft beiträgt:
Die Wirksamkeit des mathematischen Formalismus erfahren.
Dadurch dass sich in der Vektorgeometrie die Berechnungen veranschaulichen lassen, erfahren die
SuS die Wirksamkeit des mathematischen Formalismus und lernen, diesem Formalismus Vertrauen
zu schenken, insofern als die räumliche Visualisierung einen schneller täuschen kann. Bei höheren
Dimensionen fällt die Visualisierung sogar völlig aus.
In der analytischen Geometrie werden Objekte nicht konstruiert sondern berechnet. Alle Objekte
lassen sich also algebraisch (symbolisch) bestimmen. Da sich aber die drei dimensionalen Objekte
trotzdem veranschaulichen lassen, können die SuS die prinzipielle Übereinstimmung der
Berechnungen der Vektorgeometrie mit der räumlichen Intuition erfahren.
Diese Grunderfahrung wird z.B.
ermöglicht, wenn als Aufgabe ein drei
dimensionales Bild gegeben wird sowie
eine Aussage, die die SuS dann prüfen
sollen. Als Beispiel bekommen sie das
links stehende Bild mit der Frage: Kann
man aus der Position P den Punkt P‘
sehen? Begründe!
Clément Galopin didactique des mathématiques 11 mai 2013
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Kompetenzorientierung
Eine spezifische mathematische Kompetenz kann durch der Angabe von einem Handlungsbereich,
einem Komplexitätsbereich und einem Inhaltsbereich charakterisiert werden. Der Inhaltsbereich ist
hier festgelegt: I1: Algebra und Geometrie. Mögliche Ausprägungen der zwei bleibenden
Dimensionen sind:
Welche mathematischen Kompetenzen lassen sich wie mit dem Thema fördern?
Mit geeigneten Aufgaben aus der Vektorgeometrie lassen sich folgende Kompetenzen fördern:
(H1, K1): Aufgabe 1) Die SuS verfügen über die Parametergleichung mehrerer Geraden oder Ebenen
und sie versuchen, diese Objekte in einem räumlichen Achsensystem zu zeichnen.
Aufgabe 2) Ausgehend von der Graphen einer Geraden in einem räumlichen Achsensystem
bestimmen die SuS deren Parametergleichung.
(H1,K2): Mehrere Geraden werden angegeben, mal graphisch und mal in der Parameterform. Die SuS
finden heraus, welche Geraden identisch sind und welche nicht. Bemerkung: Das Herstellen der
Verbindungen (K2) sollte nicht als ein Interpretieren verstanden werden. Ansonsten gehört diese
Aufgabe dem Handlungsbereich H1 nicht, sondern eher dem Bereich H3 (Interpretieren).
(H1,K3): Ein Objekt der Vektorgeometrie wird durch bestimmte Eigenschaften angegeben. Die SuS
sollen dieses Objekt zeichnen. Für eine solche Aufgabe soll von den SuS visualisiert werden. Falls sich
aber die Aufgabe über einen rein formellen Lösungsweg lösen lässt, setzt dieser Lösungsweg
jedenfalls eine Modellierung des Sachverhalts voraus (und die Kategorie H1 stimmt dann auch).
(H2,K1): Aufgabe 1: Die Parametergleichung einer Gerade wird angegeben und die SuS finden deren
Koordinatengleichung.
Aufgabe 2: Das Skalarprodukt zweier Vektoren berechnen und dabei dessen Linearität anwenden.
Beispiel: Seien uh und
g
h
Vektoren; uV, , und der Winkel zwischen uh und
g
h
ist 30°. Berechne
uh
g
h
uh
g
h
, uh
g
h
*
, usw.
(H2,K2): Zwei Geraden werden mithilfe einer (Parameter- oder Koordinaten-) Gleichung angegeben.
Was ist ihre gegenseitige Lage?
(H2,K3): Ein Geradenscharen 4
mit Parameter k wird angegeben sowie eine Gerade 9. Bestimme k
so, dass sich 4
und 9 schneiden. Für andere k schneiden sich diese Geraden nicht; was ist dann aber
ihre gegenseitige Lage? Begründe deine Antwort (Dieser Teil der Aufgabe gehört der Kategorie H4).
(H3,K1): Mehrere Geraden werden in einem räumlichen Koordinatensystem graphisch angegeben.
Die SuS sollen bestimmen, welche Gerade sich schneiden und welche nicht, welche parallel sind und
welche nicht.
Handlungsbereiche
H1 Darstellen, Modellbilden
H2 Rechnen, Operieren
H3 Interpretieren
H4 Argumentieren, Begründen
Komplexitätsbereiche
K1 Einsetzen von Grundkenntnissen und Grundfertigkeiten
K2 Herstellen von Verbindungen
K3 Einsetzen von Reflexionswissen, Reflektieren
Clément Galopin didactique des mathématiques 11 mai 2013
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(H3,K2): Aufgabe 1: Einige vektorgeometrische Objekte (Geraden, Ebenen,…) werden angegeben
sowie einige Beschreibungen (z.B. „ist die einzige unter allen gegebenen Geraden, die mit der Ebene
E parallel ist“ oder „schneidet genau zwei andere Geraden“). Die SuS verbinden die Objekte mit den
passenden Beschreibungen.
Aufgabe 2: Zwei Geraden 4 und 9 werden in der Parameterform angegeben. Die SuS sollen die
Parametergleichung von 4 so verändern, dass sie dieselbe Gerade wie 9 beschreibt.
(H3,K3): Aufgabe 1: Eine Gerade wird drei dimensional graphisch angegeben. Das räumliche
Koordinatensystem wird jedoch ohne X-Achse gezeichnet. Die SuS sollen auf Basis der
Koordinatengleichung der Geraden die fehlende X-Achse richtig setzen.
Aufgabe 2: Ein vektorgeometrisches Objekt k‡
wird mit einem Parameter k angegeben. Wie
verändert sich k‡
, wenn k zweimal grösser wird?
(H4,K1): Sind folgende zwei Geraden zueinander windschief (orthogonal,…)? Begründe.
(H4,K2): Eine K2-Aufgabe wird mit Fehlern „gelöst“. Zum Beispiel folgende K2-Aufgabe: Mehrere
Geraden werden angegeben, mal graphisch und mal in der Parameterform. Die SuS finden heraus,
welche Geraden identisch sind und welche nicht.
Die SuS bekommen dann diese „gelöste“ Aufgabe mit dem Auftrag, die Fehler zu erkennen. Jedes
Mal, dass ein/e Schüler/in einen Fehler identifiziert haben glaubt, sollen er/sie es begründen.
(H4,K3): Aufgabe 1: Begründe, warum folgende Interpretation falsch ist: „Die Geraden 4
U
und 4
f
sind
zueinander senkrecht, denn die Geraden 4
U
und 4
*
sind zueinander senkrecht und die Geraden 4
*
und 4
f
sind es ebenfalls.“
Aufgabe 2: Seien zwei Vektoren eh und }g
h
. Beweise, dass die Menge A aller Punkte X, deren
Ortsvektoren h folgende Beziehung genügen
heh
}g
h
sich in der Form qo hehlg
h
mh lm angeben lässt.
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Unterrichtsverlaufsplanung mit Teilzielen
Bereits zwei unterschiedliche Lektionen wurden in diesem Portfolio mit ausführlicher Unterrichts-
verlaufsplanung beschrieben. Diese Lektionen finden wir Seite 2 und 6. Die erstere Lektion, welche
die drei Logarithmensätze betrifft, wird hier nochmals angegeben. Danach folgt die Beschreibung
einer Lektion aus der Vektorgeometrie. Es ist übrigens die Lektion, wofür die in diesem Portfolio
gegebene Sachanalyse geschrieben wurde. Ich finde deshalb sinnvoll, dass in diesem Kapitel auch
diese Lektion beschrieben wird. Auf diese Weise wird es erst möglich, die Übereinstimmung der
Sachanalyse
3
mit der Lektion, für die sie geschrieben wurde, zu evaluieren.
Methodologische Bemerkung: Wir unterscheiden zwischen dem Minimalwissen – einer Liste, die sich
auf die Sachanalyse beziehen soll – und den Teilzielen – einer Liste, die sich auf die geplanten
Lernaktivitäten der SuS beziehen soll. Die erstere sind Wissensziele und die letztere Lernziele.
Lektion 1
Ausgangslage: Die SuS kennen die Logarithmensätze noch nicht.
Grobziel: Die SuS verstehen, weshalb die drei Logarithmensätze gültig sind.
Zeit
Tiefenstruktur (Teilziele,
Funktionsrhythmus
)
Sichtsstruktur
2‘
15‘
3 mal
wiederholt
(n=1,2,3)
Nach der 3.
Wiederholung
5‘
Rest
5‘ vor Ende
Begrüssung und Orientierung
Teilziel n: Die SuS finden den n ten
Logarithmensatz induktiv heraus.
a-Phase: Arbeitsblatt lesen
b-Phase: Arbeitsblatt bearbeiten
c-Phase: Besprechung des Arbeitsblattes
Teilziel 4: Die SuS erfahren den Beweis des 1.
Satzes (in der obigen Reihenfolge) und
bekommen denjenigen des 2. Satzes als
Hausaufgabe. Sie erfahren auch den Beweis für
den 3. Satz.
Hausaufgabenerteilung und Schliessung
LP teilt 3 Arbeitsblätter aus (siehe
unten).
LP ist zuerst Sekretär an der WT.
LP hebt dann das hervor, was von
den SuS richtig gefunden wurde,
und vervollständigt wenn nötig die
Information.
Kurzvortrag: Beweise
An der WT
Flexibilität: Wenn beim Teilziel 1 die Besprechung des Arbeitsblattes der Anlass wird, den Fehler
eines Schülers zu diskutieren (das ist effektiv so passiert), sollte darauf eingegangen werden und der
Fehler mit der Klasse besprochen werden. Es wäre dann weniger Zeit für die Beweise. Nach dem
Beweis des ersten Satzes soll dann die LP die Hausaufgaben erteilen und schliessen.
3
Eine Sachanalyse sollte nämlich kein blosses Copy-Paste eines Theoriebuchs sein, sondern eine treffende
Auswahl von Wissenselemente – Sätze und Definitionen –, welche der vorbereiteten Unterrichtseinheit
inhaltlich und niveaumässig passt.
Clément Galopin didactique des mathématiques 11 mai 2013
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Das Arbeitsblatt für den ersten Satz beinhaltet die folgenden Lernaufträge:
Berechnen Sie:
*
+,
*
+
*
,
-
..,
-
.
-
.,
Vermutung:
Beweis?:
Zwei ähnliche Lernaufträge werden für die zwei anderen Logarithmensätze gleichzeitig den SuS
ausgeteilt. Nach der Bearbeitung aller drei Blätter (etwa 25‘, in freier Sozialform) werden die
Vermutungen im Plenum besprochen. Anschliessend werden die Sätze vorgestellt und im Kurzvortrag
wie oben an der Wandtafel bewiesen.
Begründung dieser Unterrichtsgestaltung
Der Lernauftrag bringt zuerst die SuS, die Logarithmensätze induktiv zu finden. Die SuS werden dazu
gebracht, für jeden Satz eine Hypothese aufzustellen und diese dann experimentell zu prüfen. Dieser
zweite Schritt des Prüfens mag aber oft von den SuS vergessen werden; im Rahmen der SuS-
Begleitung (im Hilfemodus scaffolding oder fading) bringt dann die Lehrperson die SuS einzeln dazu,
dass sie ihre Hypothese experimentell prüfen. Da dies als Beweis nicht reichen dürfte, wird ein
formal-symbolischer Beweis in der c-Phase vorgeführt. Die Wahl eines formal-symbolischen Beweises
passt hier gut, insofern als dieser Beweis einfach und geradlinig läuft und von keinem Trick Gebrauch
macht.
Ein experimenteller Beweis kann am Ende der Unterrichtseinheit in der Form einer Gruppenarbeit
zum Thema Rechenschieber (oder als Aufgabe für eine der Expertengruppen bei einer Puzzle-
Sequenz) gemacht werden. Mit dem Rechenschieber wird nämlich dieser Satz prägend
veranschaulich.
Veranschaulichung von 2 mal 3 gleich 6. Im Unterricht besonders interessant ist der Fall 3 mal 4, weil
das Ergebnis, 12, grösser als 10 ist und deshalb „ausserhalb“ des Lineals fällt. Wie rechnet man dann?
Jede/r Schüler/in der Gruppe würde jeweils zwei logarithmisch skalierten Linealen bekommen und
selbst Multiplikationen und Divisionen durchführen.
Lektion 2
Clément Galopin didactique des mathématiques 11 mai 2013
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Die Lektion, die ich hier plane, entspricht der in diesem Portfolio gegebenen Sachanalyse oder –
anders formuliert – die Sachanalyse passt zu dieser Lektion.
Vorwissen und Ausgangslage: Die SuS haben gerade in den letzten Tagen die Theorie der
parametrischen Geraden im Raum gelernt. Nach Angaben der für diese Klasse ordentlichen Lehrkraft
scheinen aber die SuS diese Theorie nicht wirklich zu verstehen. Bei der Besprechung dieser Lektion,
die ich im Rahmen meiner 2. Übungslektion halten soll, hat mir die Lehrkraft deshalb sogar
vorgeschlagen, dass ich eine Wiederholung der Theorie zu der gegenseitigen Lage zweier Geraden
mache. Ich habe mich aber anders entschieden.
Grobziel: Die SuS klären und verfestigen ihre frischen Kenntnisse über die gegenseitige Lage zweier
Geraden.
Teilziel 1: Die SuS produzieren selbst das Entscheidungsschema (Baum) zur Bestimmung der
gegenseitigen Lage zweier Geraden im Raum.
Teilziel 2: Die SuS vertiefen ihr Verständnis der Bestimmung der gegenseitigen Lage zweier Geraden.
Zeit
Tiefenstruktur
Teilziele, Funktionsrhythmus
Sichtsstruktur
Methoden, Medien, Sozialform
2‘
5‘
Bis maximal
25‘
10‘ vor Ende
2‘ vor Ende
Begrüssung und Orientierung
Teilziel 1: Die SuS produzieren selbst das
Entscheidungsschema (Baum) zur
Bestimmung der gegenseitigen Lage zweier
Geraden im Raum.
a-Phase: Die SuS hören zu.
b-Phase: Bearbeitung des Auftrags
c-Phase
Teilziel 2: Die SuS vertiefen ihr Verständnis
der Bestimmung der gegenseitigen Lage
zweier Geraden.
a-Phase: Die SuS hören zu.
b-Phase: Aufgaben
c-Phase: Besprechung der Aufgabe
Verabschiedung (keine Hausaufgabe)
Inpuls und Auftragserteilung
(siehe unten)
Strukturlegetechnik
(siehe unten)
in SuS-Paaren
LP kontrolliert die Paare einzeln und
verteilt ein Lösungsblatt…
… auf welchem es eine Aufgabe ist,
(siehe unten)
, welche zu zweit zu
lösen ist.
LP im Plenum
Impuls
Die Situation in der Ebene: Was sind die möglichen gegenseitigen Lagen zweier Geraden in der
Ebene? Parallel, zusammenfallend und sich schneidend. Frage: Welche neue Möglichkeit gibt es im
Raum? Die SuS sollen es herausfinden: Zwei Geraden im Raum können zueinander windschief sein,
was in der Ebene nicht möglich ist.
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Auftragserteilung
4
: Strukturlegetechnik: Partner werden gebildet. Jedem SuS-Paar wird ein
Strukturbaum verteilt sowie 6 Kärtchen. Die SuS sollen die Kärtchen auf dem Baum richtig setzen.
Wer Partnerarbeit
Was Karten auf dem Baum richtig setzen. Unter 6 Karten sind aber 3 überflüssig.
Wozu Um das Entscheidungsbaum zur Bestimmung der gegenseitigen Lage zweier Geraden
im Raum zu ermitteln
Wie SuS probieren mehrere Kombinationen, bis sie die richtige gefunden haben und rufen
dann LP.
Womit SuS dürfen sich von einem konkreten Beispiel aus ihren Unterlagen inspirieren lassen.
Wie lange Bis sie die Lösung gefunden haben aber maximal 20 Minuten
Wo An ihren ursprünglichen Sitzplätzen
Ergebnis Die drei richtigen Karten befinden sich an den richtigen Stellen im Strukturbaum.
Evaluation Durch LP, die dann dem jeweiligen SuS-Paar ein Korrekturblatt verteilt.
Aufgabe: Seien zwei Geraden 4o lhi
V
jmi
,
+
j und
9o lh
i
+
p
jni
+
j. Wie
kann man den Stützvektor und den Richtungsvektor von 4 so verändern, dass:
a) 4 und 9 parallel sind?
Stützvektor:
Richtungsvektor:
b) 4 und 9 zusammenfallen?
Stützvektor:
Richtungsvektor:
c) 4 und 9 sich schneiden?
Stützvektor:
Richtungsvektor:
d) 4 und 9 zueinander windschief sind?
Stützvektor:
Richtungsvektor:
Für jede der 4 Fragen: Wie bist du auf diese Vektoren gekommen? Begründe kurz.
Begründung
4
Seien zwei Geraden im Raum 4 und 9, von denen jeweils eine Parametergleichung gegeben ist. Was sollte
man der Reihe nach prüfen, um die gegenseitige Lage dieser zwei Geraden zu bestimmen?
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21
Das Teilziel 1 erzielt ein Verständnis eher als ein auswendiges Lernen der Standard-Prozedur zur
Bestimmung der gegenseitigen Lage zweier Geraden im Raum. Dieser Baum sollte nämlich nicht als
Kochrezept präsentiert werden sondern sollte von den SuS zuerst reflektiert werden. Zuerst habe ich
mir gedacht, dass die letztendlich im Teilziel 2 präsentierte Aufgabe, als vorbereitende Stütze zur
Erreichung dieses Ziels dienen würde. Es scheint aber, dass diese Aufgabe – obwohl mit konkreten
Zahlen – schwieriger ist, als die Baumübung selbst. Ich habe mich also entschieden, sofort mit der
Baumübung anzufangen, jedoch in einer vorgekauten Form. So kommt man auf die
Strukturlegetechnik, die die Struktur vorgibt. Sozialform: zu zweit wird wahrscheinlich effizienter
gearbeitet (die Klasse zählt insgesamt 20 SuS). Die LP zirkuliert unter den SuS-Paaren, begleitet und
kontrolliert das Ergebnis. Die LP verteilt den Schnelleren die Zusatzaufgabe. Vorteil: eine gute
Differenzierung. Zudem ermöglicht eine solche Aufgabe, bei welcher die LP zu den einzelnen SuS
kommen kann, eine gute diagnostische Evaluierung, um zu bestimmen, was genau von der Klasse
nicht verstanden wurde. Auf dieser Basis kann dann die LP eine gezielte Wiederholung organisieren.
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Lernumgebung, die aktiv-entdeckendes Lernen ermöglicht
Dallas 1963. Ein im Punkte P installierter Scharfschütze hat den Auftrag, den Präsidenten zu
erschiessen. Der Präsident befindet sich im Punkte P‘ und hält eine Rede über die Kriminalität in
Dallas. Kann ihn der Scharfschütze vom Punkte P her sehen?
Begründe deine Antwort!
Kernidee: Die SuS sollen vor allem vom Beispiel angemacht werden. Die Aufgabe hat aber auch als
Ziel, eine Situation vorzustellen, wo man an seine räumliche Intuition zweifeln kann und wo sich also
der Bedarf verspüren lässt, über eine rechnerische Methode zu verfügen. Somit sollen die SuS den
Mehrwert des symbolischen Kalküls gegenüber der reinen Intuition verspüren. Und die SuS haben
Glück denn: In der analytischen Geometrie werden Objekte nicht konstruiert sondern berechnet.
Nach etwa 5‘ Minuten Einzelarbeit, hat jede/r Schüler/in die Aufgabe verstanden und die
Schwierigkeit verspürt, seine Meinung überzeugend zu begründen. Dann arbeiten die SuS in – sagen
wir mal – Dreiergruppen und haben als Auftrag, die von ihnen bekannten Begriffen zu gebrauchen,
um eine gute Begründung zu produzieren. Nach maximal 20‘ werden die Lösungen der Gruppen im
Plenum besprochen. Dabei spielt die LP zuerst die Rolle des Sekretärs: die LP fragt eine/n Schüler/in
und er/sie muss die Idee der Gruppe in Worte fassen, damit die LP eine Skizze oder eine Rechnung an
der Tafel reproduzieren kann. Diese Versprachlichung bringt die SuS dazu, sich präzise auszudrücken
und die Fachsprache zu gebrauchen.
Damit das Ganze motivierend wirkt, muss die LP die Fehler würdigen und dabei keine Wertung
machen. Die Fehler sollen besprochen werden, indem die LP das Wort den SuS lässt, denn sie sollen
die Fehler identifizieren. Wenn dagegen Wertungen kommen, wird diese Aufgabe motivational zum
Misserfolg und die SuS werden sich bei einem nächsten Mal nicht mehr trauen, das Wort zu nehmen.
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Aufgabenanalysen und Übungen
Aufgabe: Seien zwei Geraden 4o lhi
V
u
jmi
,
+
j und
9o lh
i
+
p
+u
jni
+
j.
Wie muss der Parameter u gewählt werden, damit 4 und 9 sich schneiden?
Lösungsweg
i
V
u
jmi
,
+
ji
+
p
+u
jni
+
j
!
…
+n !""nV""
V,mp +
u+m+u+n V
"_ˆ"
+
( u +m +u .
! +m Vu . ,
+
" ! m V W
W
"_ˆ"
,
( . Vu .
! z ‰
Um das Ergebnis zu prüfen, setzt man den gefundenen Wert
von u in der Gleichung (0) und prüft, dass diese Gleichung
dann eine Lösung hat. Wir sehen es für m V und n V.
Variation: viel einfacher
Dieselben Geraden werden für den Parameterwert u , gegeben.
Aufgabe: Prüfe, ob diese Gerade sich schneiden.
Variation: ein Hauch leichter
Die gleiche Aufgabe (mit Parameterwert u zu bestimmen) aber in der Ebene anstatt im Raum.
Variation: ein Hauch schwieriger
Die gleiche Aufgabe (mit Parameterwert u zu bestimmen) jedoch mit nicht ganzzahligen
Vektorkoordinaten.
Variation: richtig schwieriger
Gleiche Gerade 4 und Gerade 9 mit Parameterwert u ,. Eine zusätzliche Gerade € wird gegeben
(ohne Parameter).
Aufgabe: Versuche, aus dieser gegebenen Situation (drei Geraden unter welchen eine von einem
Parameterwert abhängt) selbst Aufgaben zu formulieren. Mach Gebrauch von den von dir bekannten
Begriffen: gegenseitige Lage zweier Geraden, Schnittwinkel zweier Geraden, Abstand zwischen zwei
Geraden (Falls das Vektorprodukt bekannt ist).
Clément Galopin didactique des mathématiques 11 mai 2013
24
Eine solche Aufgabe könnte z.B. eine Gruppenaufgabe werden. Die so kreierten Aufgaben werden
dann von den SuS gelöst. Zum Beispiel die Gruppe A formuliert eine Aufgabe für die Gruppe B, die
ebenfalls eine Aufgabe für die Gruppe A formuliert. Jede Gruppe löst die bekommene Aufgabe. Die
LP „bewilligt“ die Aufgaben, damit sie sinnvoll bleiben und klar formuliert sind.
Klassifizierung der oben eingerahmten Aufgabe nach Johanna Neubrand
A Anzahl Wissenseinheiten: zwei
- Definition einer Geraden im Raum durch der Angabe ihrer Parametergleichung
- Gegenseitige Lage zweier Geraden
B Der Kontext ist innermathematisch und lokal.
C Aufgabenart: der Start ist gegeben, der Weg ist quasi gegeben und das Ziel nicht. Es handelt
sich also um eine einfache Bestimmungsaufgabe (Grundaufgabe).
D Die vorkommenden Grössen (die Vektorkoordinaten) sind extensiv und diskret. Jedoch
könnte theoretisch der Parameter u eine rationale Zahl sein. Der Parameter der jeweiligen
Parametergleichung nimmt reelle Werte an, spielt aber in dieser Aufgabe gar keine Rolle.
E Anwendung des Wissens: die Wissenseinheiten werde in dieser Aufgabe explizit gegeben.
Eventuell implizit wäre das Wissen, dass zwei Vektoren, die zueinander Parallel sind, ein
Vielfaches sind voneinander. Implizit ist also das Wissen über die Vektoren und die
Kollinearität.
F Offenheit der Aufgabe: Die Aufgabe bleibt offen, denn es gibt mehrere Wege, die zur Lösung
führen. Anstatt das Gleichungssystem zu lösen, indem der Parameter u als dritte Unbekannte
neben den beiden Gleichungsparametern m und n verstanden wird (3 Gleichungen und 3
Unbekannten), kann zuerst festgestellt werden, dass die Richtungsvektoren beider Geraden
nicht kollinear sind. Dann kann lediglich verlangt werden, dass der Vektor i
V
u
ji
+
p
+u
j
eine Linearkombination beider Richtungsvektoren ist, denn genau dann gibt es eine Lösung
des Systems, welche wir aber nicht explizit ermitteln müssen.
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Kommentierte Prüfung
(auf Französisch)
Je propose d’analyser la dernière évaluation en date que j’ai eu l’occasion de concevoir durant ma
phase d’autonomie
5
. Il s’agit d’une évaluation sur le sujet des médiatrices et bissectrices, la distance
entre deux points et entre un point et une droite dans le plan. Je propose de tout d’abord jeter un
coup d’œil sur l’évaluation elle-même ainsi que sur son corrigé qui se trouvent à la fin de ce travail.
Les difficultés que les exercices ont présentées
L’exercice 1 est une simple application de connaissances devenues procédurales à force de résoudre
des exercices similaires en classe et en devoir. Le seul risque ici consiste à confondre l’intersection
des médiatrices et celle des bissectrices intérieures au triangle. Mais la définition du centre du cercle
inscrit dans un triangle et celle du centre du cercle circonscrit à un triangle ont été serinées. Tout de
même, il est arrivé à quelques reprises (voir l’évaluation des résultats) que des élèves aient calculé
les bissectrices – travail demandant au préalable de calculer l’équation des droites formant les côtés
du triangle, puisque celui-ci est donné par ses sommets – et leur intersection. Effort hors-sujet.
L’exercice 2 est à peine plus difficile, les élèves ayant déjà fait une fois un exercice semblable avec
l’axe des y. La première difficulté a été pour certains de trouver l’équation de l’axe des x. Mais
l’erreur la plus fréquemment commise par les élèves a été de croire que dans cet exercice, il fallait
choisir entre une « bonne » et une « mauvaise » bissectrice, en analogie aux exercices dans lesquels
ils devaient déterminer la bissectrice intérieure à un triangle et rejeter la bissectrice extérieure sur la
base de considérations sur les pentes de ces bissectrices et d’une représentation graphique.
Beaucoup d’élèves ont désigné l’une ou l’autre des bissectrices comme étant « la bonne », sans
jamais bien sûr pouvoir justifier leur choix. Autre erreur souvent commise : puisqu’il y a trois droites
dans la donnée, des élèves ont trouvé le moyen de calculer la bissectrice entre les mauvaises droites.
L’exercice 3 est d’une difficulté conceptuelle beaucoup plus élevée. Il exige d’avoir une vision
géométrique, seule façon d’envisager la solution : les équations des droites passant par \+Š et
qui forment avec les droites 5 et 4 des triangles isocèles sont leurs bissectrices translatées de façon à
ce qu’elles passent par \+Š. L’élève ayant compris cela doit ensuite calculer chacune des deux
bissectrices
r
G
o u
G
G
•
G
(‹Œ•"Ž +) puis redéterminer la constante •
G
de façon à ce
que l’équation résultant de la substitution dans r
G
de et de $ par les coordonnées du point \ soit
vérifiée. Cette droite, pour Ž+, forme alors avec les droites 5 et 4 un triangle isocèle.
Les résultats
Nombre d’élèves : 18, moyenne de classe : 3,9, note médiane : 4,1
5
Mis à part une évaluation semblable de rattrapage pour trois élèves absents, évaluation dont la conception
m’a d’ailleurs demandé exactement autant d’efforts que la précédente.
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26
La distribution des points dévolus à chaque exercice
J’ai alloué 5 points à chaque exercice. Cette allocation de même que le barème sont discutés au
prochain chapitre. Dans ce chapitre-ci, nous voyons la distribution de ces points pour chaque
exercice. Cette répartition est mise en perspective avec les résultats de la classe pour chacun des
exercices, résultats qui sont le reflet des principales fautes commises.
Distribution des points
Calcul de deux médiatrices 3
Centre 1
Rayon 1
Total 5
Les élèves qui n’ont obtenu aucun point ont calculé
l’intersection des bissectrices au lieu de celle des
médiatrices. Ceux qui ont fait 4 points n’ont pas su
calculer le rayon du cercle circonscrit, appliquant
aveuglément la méthode pour obtenir le rayon du cercle inscrit. Ceux qui ont 3 points sont en
principe dans le même cas mais ont de plus fait des fautes de calcul.
Distribution des points
Bissectrices 3
Au moins l’un des deux points 2
Total 5
La moitié des élèves a reconnu dans cet exercice un
exercice très semblable fait en classe. Si l’élève
calcule les bissectrices correctement, il marque déjà 3
points. Ceux qui n’y sont pas arrivés auront confondu
les droites. Une seule élève a tenté un chemin alternatif qui ne nécessitait pas de bissectrices; mais il
était faux dans sa conception et ne lui a apporté aucun point.
Distribution des points
Représentation graphique 1
Avoir l’idée complète 4
Calculer les bissectrices 2
Total (idée + calcul correct) 5
Pour cet exercice difficile, la représentation
graphique donne 1 point si les droites f et g sont correctement placées et si un triangle isocèle y est
dessiné. Si l’une des droites est fausse ou si le triangle est absent, la représentation graphique donne
un demi-point. Si l’élève a calculé les deux bissectrices correctement, il reçoit en outre 2 points. S’il a
eu toute l’idée juste, il reçoit 4 points jusqu’à concurrence du maximum de 5 points. Seule une élève
a résolu l’exercice tout à fait correctement. Aucun parmi les autres élèves qui ont calculé la
bissectrice n’a par contre envisagé à quoi celle-ci pourrait servir. Ces élèves ont certainement fait ce
calcul automatiquement.
Clément Galopin didactique des mathématiques 11 mai 2013
27
L’allocation des points parmi les exercices ainsi que le barème
Dans le sens d’une échelle de notes critériée, j’ai fait en sorte que les deux premiers exercices ne
soient que des applications simples d’un savoir procédural mais aussi d’un savoir factuel, tandis que
le troisième exercice demande une certaine créativité. Le barème est fait de telle manière qu’un
élève qui ferait juste à 80% les deux premiers exercices mais tout faux le troisième reçoive la note 4.
Cette note de 4 signifierait alors véritablement le seuil de suffisance. A contrario, un élève qui
maîtriserait parfaitement le procédural et le factuel mais qui n’aurait strictement aucune idée pour
l’exercice 3 – il n’aurait que calculé les bissectrices de façon automatique – ne pourrait dépasser 5,6
(ce qui est très généreux).
Le barème atteint son maximum pour 13 points sur 15. La raison en est que je ne voulais pas
désavantager les élèves moyens-faibles qui doivent pouvoir faire une note honorable sans l’exercice
plus difficile. Mais je voulais absolument qu’un élève étourdi qui calcule avec quelques erreurs mais
qui trouve l’idée correcte de l’exercice difficile puisse marquer suffisamment de points pour avoir
une bonne note, la résolution du problème difficile devant avoir plus de valeur que la simple
application de procédure. C’est la raison pour laquelle le barème atteint son maximum avant que le
total des points ne soit atteint.
Le premier exercice demandait d’une part une connaissance (factuelle) du fait que le centre du cercle
circonscrit à un triangle est l’intersection des médiatrices, d’autre part une connaissance procédurale
du calcul de médiatrices puis du calcul de l’intersection entre deux droites.
Le deuxième exercice demandait la capacité à mettre sous forme mathématique une droite donnée
sous une forme imagée (« L’axe des x » s’écrit mathématiquement comme la droite $). Cet
exercice demandait également de comprendre la donnée du problème afin de ne pas se tromper de
droites lorsqu’on calcule la bissectrice mais surtout afin de comprendre que le problème ne
demande pas de choisir l’une des deux bissectrices obtenues. De comprendre que l’analogie avec le
problème de la détermination de la bissectrice intérieure d’un triangle issue d’un sommet donné est
une analogie qui n’a pas lieu d’être. Ce point de mécompréhension n’était toutefois pas sanctionné.
Le troisième exercice donne 2 points si l’on applique le savoir procédural du calcul de bissectrices.
Mais pour obtenir le reste des points, il faut pouvoir représenter le problème et surtout avoir la
créativité de déplacer mentalement les bissectrices de façon à les faire passer par le point P.
Cet exercice avait donc pour but, davantage qu’un contenu, d’évaluer la compétence de l’élève à
résoudre un problème en posant une idée. D’ailleurs, la façon dont j’ai prévu de distribuer les points
pour cet exercice en témoigne : si l’idée apparaissait clairement, les points étaient donnés même si
les calculs n’étaient pas faits. Seul importait de degré de complétude de l’idée (l’élève a vu ceci, il a
compris que cela,…).
Clément Galopin didactique des mathématiques 11 mai 2013
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Klassenarbeit Klasse 2B1 Name:
Vektorgeometrie in der Ebene Mai 2013 Vorname:
Aufgabe 1
Ein Dreieck wird durch seinen Ecken gegeben : qV],, r]W und •,]V. Berechne das Zentrum
und den Radius des Umkreises.
Aufgabe 2
Seien die Geraden
u( $
( V,$+
.
Bestimme einen Punkt auf u, der gleich weit entfernt ist von und von der X-Achse.
Aufgabe 3
Seien die Geraden
5( •,$
4( ‘$.
.
Bestimme die Koordinatengleichungen der Geraden, die durch \+] gehen und die mit den
Geraden 5"und 4 jeweils ein gleichschenkliges Dreieck bilden.
Zeichne diese Geraden in einem orthonormierten Koordinatensystem ein.
Viel Erfolg!
Clément Galopin didactique des mathématiques 11 mai 2013
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Corrigé de l’interrogation
Exercice 1
€
’“
”
”
”
”
( V$
(point milieu : \
f
*
Š
•
*
)
€
“–
”
”
”
”
( +$
(point milieu : \+Š,)
€
’–
”
”
”
”
( •$
(point milieu : \
U
*
Š
—
*
)
Centre : ˜"Š
Rayon : 5
Points
Calcul de deux médiatrices 3
Centre 1
Rayon 1
Total 5
Exercice 2
r
U
( V$+
r
*
( V$,
r
U
™u/.Š. ou
r
*
™u2Š
Points
Bissectrices 3
Au moins l’un des deux points 2
Total 5
Exercice 3
r
U
( V+$‘
r
*
( +V$
Ces bissectrices sont ensuite translatées de façon à
passer par \+Š":
r
U
devient ainsi V+$• qui passe par
\
+Š
, c’est-à-dire
r
U
7
( V+$‘
(•
vaut ‘).
De façon analogue, on obtient
r
*
7
( +V$
(• vaut ).
Le premier triangle isocèle est donné par 5, 4 et
r
U
7
, le second par 5, 4 et r
*
7
.
Points : Avoir l’idée complète : 4, calculer les
bissectrices :2. Total (idée + calcul correct) :5
Note :
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Clément Galopin Leistungsnachweis 24. Mai 2013
30
